几何平均数的计算公式

在数学中，几何平均数是一种用于表示一组正数的集中趋势的均值。其计算公式为：

$$\tilde{x}={\left(\prod _{i=1}^n{x}_i\right)}^{\frac{1}{n}}$$

其中，$x_i$ 是每个数据点，$n$ 是数据点的数量，$\prod$

表示乘积。

一、举例说明

假设我们有一组数字：2、8和32。我们希望计算这三个数字的几何平均数。

第一步，我们需要先计算这三个数字的乘积：

$$2\times 8\times 32=512$$

第二步，我们知道这组数据有3个数字，因此我们将乘积取三次方根（即开立方）：

$$\tilde{x}={\left(512\right)}^{\frac{1}{3}}$$

第三步，计算立方根。通过计算，我们可以得出：

$${\left(512\right)}^{\frac{1}{3}}=8$$

因此，这组数字2、8和32的几何平均数为 8。

二、应用场景

几何平均数常用于金融领域，例如计算投资回报率。在这种情况下，如果一个投资在三年内分别增长了20%、30%和-10%，我们可以使用几何平均数来更准确地反映整体增长情况。首先，将这些百分比转换为相应的倍数：1.20、1.30和0.90，然后进行乘积运算：

$$1.20\times 1.30\times 0.90=1.404$$

接着取三次方根：

$${\left(1.404\right)}^{\frac{1}{3}}\approx 1.124$$

最后，将结果减去1并转换为百分比形式，得到约12.4%的年均增长率。这表明尽管有一年出现了负增长，但整体来看投资仍然是盈利的。

通过以上步骤，我们可以清晰地理解几何平均数的计算过程及其实际应用。