因素分析法的计算例题及答案

因素分析法是一种多变量统计分析方法，主要用于数据降维和结构探测。它通过提取潜在的因素来解释观测变量之间的相关性，从而简化数据的复杂性。下面将通过一个具体的例子来说明因素分析法的计算过程。

一、问题背景

假设我们有一组关于学生学习成绩的数据，包括数学、语文、英语和科学四个科目的分数。我们希望通过因素分析法找出影响学生学习成绩的潜在因素。

二、收集数据

我们收集了10名学生在四个科目上的分数，数据如下：

三、标准化数据

由于不同科目的分数范围不同，我们需要对数据进行标准化处理，使得每个变量的均值为0，方差为1。标准化公式为：

$$Z=\frac{X-\mu }{\sigma }$$

其中，z为标准化后的值，x为原始值，U为均值，Q为标准差。

经过计算，我们得到标准化后的数据如下（以数学为例）：

数学均值：83.5

数学标准差：8.16

然后用上述公式对所有科目的分数进行标准化处理。

四、计算相关矩阵

接下来，我们需要计算各个科目之间的相关系数矩阵。相关系数可以反映两个变量之间的线性关系，其计算公式为：

$$r_{xy}=\frac{\sum (X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{(n-1)s_X{s}_Y}$$

其中，rxy为相关系数，XiYi分别为两个变量的数据点，SxSy为两个变量的标准差。

通过计算，我们得到以下相关矩阵：

$$R=\left(\begin{array}{cccc}\hfill 1\hfill & \hfill r_{12}\hfill & \hfill r_{13}\hfill & \hfill r_{14}\hfill \\ \hfill r_{21}\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill r_{23}\hfill & \hfill r_{24}\hfill \\ \hfill r_{31}\hfill & \hfill r_{32}\hfill & \hfill 1\hfill & \hfill r_{34}\hfill \\ \hfill r_{41}\hfill & \hfill r_{42}\hfill & \hfill r_{43}\hfill & \hfill 1\hfill \end{array}\right)$$

五、提取因子

使用主成分分析法（PCA）提取因子。首先计算特征值和特征向量，然后选择特征值较大的前几个因子作为主要因子。例如，如果我们得到前两个特征值分别为3.5和2.0，则可以选择这两个因子进行进一步分析。

六、旋转因子载荷矩阵

为了使得因子的解释更加清晰，我们通常会对因子载荷矩阵进行旋转（如Varimax旋转），以便更好地理解每个因子的含义。

假设经过旋转后，我们得到以下因子载荷矩阵：

$$F=\left(\begin{array}{cc}\hfill 0.8\hfill & \hfill 0.2\hfill \\ \hfill 0.7\hfill & \hfill 0.6\hfill \\ \hfill 0.6\hfill & \hfill 0.7\hfill \\ \hfill 0.9\hfill & \hfill 0.4\hfill \end{array}\right)$$

这里，第一个因子可能代表“语言能力”，第二个因子可能代表“理科能力”。

七、结果解释

根据以上步骤，我们可以得出结论：影响学生学习成绩的主要因素是语言能力和理科能力。这些信息可以帮助教育工作者制定更有效的教学策略，以提高学生在不同领域的表现。